Le jeu de Monty Hall 1/2

Marilyn vos Savant répond à vos questions

Bien que les nombres fussent les amis intimes d'Erdös, il lui arrivait de se méprendre sur leur compte. Aussi doué fût-il, son intuition n'était pas toujours infaillible. En effet, la dernière fois qu'il rendit visite à Vázsonyi, dans sa résidence de retraite dans les vignobles de Californie, il trébucha contre un délicat casse-tête posé dans Demandez à Marilyn, une rubrique de Marilyn vos Savant dans le magazine Parade. Clinquante et pleine d'assurance, Marilyn vos Savant fait partie de ces gens que les mathématiciens de métier aiment haïr. Elle s'affiche comme la personne ayant "le Q.I. le plus élevé" jamais enregistré : un énorme 228, d'après le livre Guinness des records. Elle arbore un anneau de mariage en carbone pyrolytique, matériau spécial utilisé dans le coeur artificiel de Jarvik, inventé par son mari Robert Jarvik. Sa réputation dans le milieu mathématique n'est sortie grandie avec son livre The world most famous math problem [2], où elle met en doute la démonstration par Wiles au théorème de Fermat, ainsi que la théorie de la relativité d'Einstein. Demandez à Marilyn a été décrit comme une sorte de Hints form Heloise [3] pour l'esprit, avec beaucoup de mathématiques par-dessus le marché. Une part de l'antipathie qu'elle inspire tient à une certaine jalousie : sa rubrique dans Parade, tous les dimanches, est lue par des millions de personnes, et les livres et discours qui la complètent lui assurent une vie confortable. Beaucoup de mathématiciens professionnels, en revanche, n'ont pas touché un seul centime de la publication de leurs livres.

Monty Hall

Le jeu de Monty Hall, et le conseil de Marilyn

Dans son article du 9 septembre 1990, Marilyn vos Savant répondit à l'un de ses lecteurs qui lui avait soumis une énigme bien connue. Vous participez à un jeu où l'on vous propose trois portes au choix. L'une des portes cache une voiture à gagner et chacune des deux autres une chèvre. Vous choisissez, disons, la porte 1 ; l'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il vous donne maintenant la possibilité de vous en tenir à votre choix initial (porte 1) ou de choisir l'autre porte. Qu'avez-vous intérêt à faire ? On appelle cela le dilemme de Monty Hall, problème auquel étaient confrontés les invités du jeu télévisé Let's make a deal de Monty Hall [4] sauf que les lots de consolation n'étaient pas des chèvres. Marilyn vos Savant recommanda à son correspondant de modifier son choix. S'en tenir au choix initial donnait une chance sur trois de gagner affirmait-elle, alors que choisir l'autre porte doublait les chances : deux sur trois. Pour convaincre ses lecteurs, elle leur demandait d'imaginer qu'il n'y ait non pas une, mais un million de portes. " Vous choisissez la porte numéro 1" expliquait-elle. L'animateur, qui sait ce qui se trouve derrière chaque porte et évitera toujours celle qui cache le gros lot, ouvre toutes les portes sauf la numéro 777 777 [et la numéro 1 bien sûr]. Vous modifierez votre choix assez vite n'est-ce pas ?"

Des mathématiciens bien sûrs d'eux

Non, manifestement. Sitôt paru son article, vos Savant fut assaillie de lettres de lecteurs en désaccord. Ils maintenaient que les chances étaient de cinquante-cinquante, et non de deux sur trois, dans le cas où l'on modifiait son choix. Dans son article du 2 décembre 1990, Marilyn vos Savant publia quelques-unes des lettres:

Étant mathématicien professionnel, je suis très inquiet du manque de compétences mathématiques du grand public. Je vous prie d'essayer d'y remédier en reconnaissant votre erreur ...

Robert Sachs, Ph. D., université George Mason

Vous avez faux, archi-faux ! Je m'explique : une fois que l'animateur a dévoilé une chèvre, vous avez dès lors une chance sur deux d'avoir juste. Que vous modifiiez votre ou non votre réponse, les chances sont les mêmes. Il y a suffisamment d'analphabétisme mathématique dans ce pays ; inutile que le Q.I. le plus élevé en sème davantage. C'est honteux !

Scott Smith, Ph. D., université de Floride

La réponse de Marilyn

Pour bien faire comprendre son analyse, Marilyn vos Savant dressa cette fois dans un tableau la liste exhaustive des six possibilités :

Résultats du jeu en en choisissant la porte 1 et en s'y tenant suivant les différentes configurations :

Résultats du jeu en choisissant la porte 1 et en modifiant son choix :

Le tableau démontre, écrivait-elle, que "lorsque vous modifiez votre choix vous gagnez deux fois sur trois, alors que si vous vous en tenez à votre choix initial, vous ne gagnez qu'une fois sur trois ".

Un troisième article sur la question

Mais le tableau ne fit pas taire ses détracteurs. Dans un troisième article sur la question (le 17 février 1991), elle signala que dans les milliers de lettres reçues, neuf sur dix étaient contre elle, et qu'elle avait eu des reproches d'un statisticien aux National Institute of Health [5], ainsi que du directeur adjoint du Centre des renseignements militaires. Les lettres avaient tourné au vinaigre, certaines la traitant de chèvre ou affirmant que les femmes ne voient pas les problèmes de mathématiques comme les hommes. "Vous vous trompez complètement à propoos de la question du jeu télévisé", écrivit E. Ray Bobo, un Ph. D. de Gerogetown, "et j'espère que cette controverse attirera un peu l'attention du public sur la grave crise nationale qui frappe l'enseignement supérieur des mathématiques. Si vous pouviez reconnaître votre erreur, vous contribueriez de façon constructive à la résolution d'une situation déplorable. Combien de mathématiciens furieux vous faut-il pour changer d'avis ?"

Point final de Marilyn

"Lorsque la réalité heurte si violemment l'intuition, répondit Marilyn vos Savant dans sa rubrique, les gens sont ébranlés". Elle essaya autrement. Imaginez, dit-elle, que juste après que l'animateur a ouvert la porte dévoilant une chèvre, atterrisse sur la scène du jeu une soucoupe volante, et qu'en sorte une petite femme verte. Cettre dernière ne sachant pas quelle porte vous avez choisie au départ, on lui demande de choisir l'une des deux portes restées closes. La probabilité qu'elle tombe sur la voiture est de cinquante pour cent, "Mais c'est qu'il lui manque l'avantage qu'avait le candidat d'origine - l'aide de l'animateur [...]. Si le gros lot se trouve derrière la numéro 2, l'animateur vous montre la numéro 3 ; et si le gros lot se trouve derrière la numéro 3, il vous montre la numéro 2. Donc, quand vous modifiez votre choix, vous gagnez si le prix se trouve au numéro 2 ou au numéro 3. Vous ganez dans les deux cas ! Mais si vous laissez votre choix inchangé, vous ne gagnez que si le prix se trouve derrière la porte numéro 1." Marilyn vos Savant avait parfaitement raison, comme durent finalement l'admettre les mathématiciens, penauds (...).

Une petite expérience pythonique au prochain article pourrait nous aider à nous faire notre opinion !