Biomorphes 2/3 : bestiaire

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C'est la suite du billet dans lequel j'avais promis des images.

J'avais déjà écrit un billet du même genre ici. Mais, contrairement à ce que j'avais fait dans le billet sur l'ensemble de Mandelbrot, je vais générer la galerie d'images en Python, ce qui vous permettra de vous familiariser avec la commande subplot.

Pour rappel : je prends des points régulièrement répartis dans la région du plan complexe définie par :

\begin{equation*} D = \{ x+ iy \quad x\in [\texttt{Xmin}, \texttt{Xmax}] \quad y \in [\texttt{Ymin};\texttt{Ymax}]\} \end{equation*}

Je considère pour chacun de ces points \(z\) la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = F(u_n) \) que l'on choisit, on obtient des dessins assez variables, et assez fascinants :

\begin{equation*} \begin{array}{cc|c|c|c} \textrm{Bestiole} & \textrm{(fonction)} &\texttt{Xmin} & \texttt{Xmax} & \texttt{Ymin} & \texttt{Ymax} \\ \hline f(z) = & z^3 +\dfrac{1}{2} & -10 & 10 & -10 & 10 \\ & & -2 & 2 & -2 & 2 \\ g(z) = & z^z + z^6 + \dfrac{1}{2} & -1.2 & 1.2 & -1.2 & 1.2 \\ h(z) = & \sin(z) + e^{z} + \dfrac{1}{2} & 0.5 & 6 & 1.7 & 3.3 \\ p(z) = & z^{-3} + \dfrac{1}{2} & -2 & 2 & -2 & 2 \end{array} \end{equation*}

Importation des modules

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg

# Dans Spyder, remplacez la  commande  qui suit par : plt.ion() mais,
# elle est inutile  pour ceux qui  ont une console interactive
# (c-à-d prompt qui ressemble à In [1]:  et pas à  >>> )

%matplotlib inline

Les différentes bestioles et leur habitat

Je crée les bestioles et les domaines de points \(\texttt{[Xmin,Xmax,Ymin,Ymax]}\) associés à chaque bestiole (domaine : zone du plan complexe où se cache la bête) :

def f(z):
    return z**3+0.5

def g(z):
    return z**z+z**6+ 0.5

def h(z):
    return np.sin(z)+np.exp(z)+0.5

def p(z):
    return z**(-3)+0.5

Comme j'ai en vue l'automatisation de la création des images, je vais consigner toutes mes fonctions dans une liste, puisque les listes sont itérables :

fonctions = [f,g,h,p]

De même, je crée les domaines relatifs à chaque fonction puis la liste de ces domaines :

dom_f = [-10,10,-10,10]
dom_g = [-1.2,1.2,-1.2,1.2]
dom_h = [0.5, 6, 1.7, 3.3]
dom_p = [-2,2,-2,2]

domaines = [dom_f, dom_g, dom_h, dom_p]

Je crée enfin la liste des tuples (fonction,domaine) :

bestioles = [ (fonctions[i], domaines[i]) for i in range(4)]
bestioles # pour que vous voyiez la structure de la liste

[(<function __main__.f>, [-10, 10, -10, 10]),
 (<function __main__.g>, [-1.2, 1.2, -1.2, 1.2]),
 (<function __main__.h>, [0.5, 6, 1.7, 3.3]),
 (<function __main__.p>, [-2, 2, -2, 2])]

Et tant qu'à faire, la liste des noms des fonctions pour légender mes graphiques :

noms=[r'$z^3 + \frac{1}{2}$', r'$z^z+z^6+\frac{1}{2}$', r'$\sin(z) + e^z + \frac{1}{2}$', r'$z^{-3}+\frac{1}{2}$']

Fonction de calcul de la durée de vie

Ce qui est formidable, c'est que même les fonctions peuvent être prises comme variables d'entrée des fonctions :

def dureeDeVie(f,u):
    """ u : un complexe
        f : une fonction
        retourne le plus petit rang n inférieur ou égal à 10 pour
        lequel la partie réelle et la partie imaginaire excèdent 10
        strictement en valeur absolue pour la suite récurrente de premier
        terme u et associée à la fonction f.
        Si cet entier n'existe pas, on le pose égal à 0.
    """
    z = u # on peut faire les deux d'un coup : z,k = u,0
    k = 0
    while k<= 10 and (abs(z.imag)<=10 or abs(z.real)<=10):
        z=f(z)
        k+=1
    if k==11:
        return 0
    else:
        return k

Fonction de coloriage

def  coloriage(f, xmin, xmax, ymin, ymax, nx,ny,ax):
    """ je n'explique pas pour le moment ... """

    X = np.linspace(xmin,xmax,nx)  # je crée les subdivisons le long des X
    Y = np.linspace(ymax,ymin,ny)  # idem le long des Y
    A = np.zeros((ny,nx))          # J'initialise un tableau de taille ny x nx
    for i in range(0,ny):
        for j in range(0,nx):
            A[i,j]= dureeDeVie(f,X[i]+1j*Y[j]) # je place en position [i,j] du tableau la durée de vie du germe

    A=12-A                                   # Comme je veux colorier dans des teintes de bleu, je fais des
    A[0,0]=0                                 # petites transformations sur les coefficients de A
    A[1,1]=30
    ax.axis('off')
    ax.imshow(A)

Génération de la galerie

Il n'y a plus qu'à faire la boucle sur les bestioles :

# nombre de points dans le domaine

nx = 500
ny = 500



fig = plt.figure(figsize=(20,20))     ;    # je dimensionne le dessin
k=1

for bestiole  in bestioles: # je prends les bestioles une par une
    fonction = bestiole[0]
    (xmin,xmax,ymin,ymax) = bestiole[1]
    ax = fig.add_subplot(220+k)    # je crée un sous-graphique
    plt.title(noms[k-1])           # je lui mets un titre
    plt.axis('equal')               # repère orthonormé
    coloriage(fonction, xmin, xmax, ymin, ymax, nx,ny,ax)
    k+=1
../../images/Biomorphes/gallerie_biomorphes.png
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