Changement de variables dans les intégrales
Un thème des plus récurrents en analyse, à l'écrit comme à l'oral, est celui du calcul intégral. En effet, il intervient notamment :
- Dans la résolutions d'équations différentielles.
- Dans le calcul des probabilités.
Il est donc important de maîtriser ce thème, à commencer par savoir effectuer un changement de variables.
La méthode avec un exemple¶
À vous de jouer !¶
Transformer par changement de variables :
- $I_1 = \displaystyle \int_{0}^{1} \ln\left(3+5t\right)\text{d}t$.
- $I_2 = \displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\tan{t}}\text{d}t$ (On se ramènera à une intégrale sur le segment $[0,1]$ par un changement de variables affine).
- (cas général du calcul précédent) Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b].$ Transformer $J =\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)\text d t $ en se ramenant une intégrale sur le segment $[0,1]$.
- $I_3 = \displaystyle \int_{\ln \frac{\pi}{4}} ^{\ln \frac{\pi}{3}} \dfrac{2}{e^t+e^{-t}}\text{d}t$. On posera $u = e^{t}$. (Réponse : $2\left(\sqrt{3}-1\right)$)
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