Croissances comparées pour de vrai

2015-09-15 19:39 | Source

croissances comparées

On a vu en cours à quoi servaient les croissances comparées, et dans quels cas utiliser ces fameuses échelles de croissance.

Je suppose, pour fixer les idées que je m'intéresse ici à $x \to +\infty$, c'est-à-dire par rapport au diagramme fait en cours, $a=+\infty$

Je rappelle simplement, afin de clarifier les choses, que :

L'on dit croissances comparées parce que l'on compare les croissances de deux fonctions, qui mettons tendent toutes deux vers $+\infty$.
Quand on parle de la croissance d'une fonction $f$ dans ce contexte, on ne parle pas de la monotonie de la fonction (si elle est croissante ou décroissante), mais, on veut dire :

comment grossit le nombre $f(x)$ quand la variable $x$ grossit ($x\to +\infty$) ?

La question se résume donc, quand on étudie les croissances comparées de $f$ et $g$, en : lequel des deux nombres $f(x)$ et $g(x)$ grossit le plus vite avec $x$ ?

Réponse : Rien de mieux que de regarder le phénomène avec les yeux pour rendre ça plus concret !

Préparatifs¶

je charge quelques modules (pas de panique) :

In [1]:

from __future__ import division
from IPython.display import HTML
from IPython.display import display, Math
from ipywidgets import StaticInteract, RangeWidget
from math import floor, log10, sqrt
import numpy as np

Je construis une fonction¶

Voici les 4 fonctions que je vais considérer pour tester mes croissances comparées :

Fonction	Expression
$f_1(x)=$	$\sqrt{x}$
$f_2(x)=$	$\log_{10}({x})$
$f_3(x)=$	${x}^3$
$f_4(x)=$	$2^{x}$

Je rappelle que qualitativement, $\ln$ et $\log_{10}$, c'est la même chose (puisqu'ils ne diffèrent l'un de l'autre que d'une constante multiplicative).

La fonction Python suivante, que j'appelle de façon très originale : croissances_comp(x), calcule les valeurs (arrondies à l'entier inférieur) de $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$, $f_4(x)$ (en fait toutes les valeurs de ces fonctions aux entiers de $1$ jusqu'a $x$, pour des raisons que vous n'avez pas besoin de comprendre).

In [5]:

def croissances_comp(x):
    f1 = "racine(x)"
    f2 = "log(x)"
    f3 = "x^3 "
    f4 = "2^x "
    for i in range(1,x):
        f1 = str(floor(log10(i)))
        f2 = str(floor(sqrt(i)))
        f3 = str(i**3)
        f4 = str(2**(i))
    return f1, f2, f3, f4

Plus sympa comme ça : jouez avec les croissances comparées¶

Le code ci-dessus construit l'animation : faites glisser le bouton et vous verrez, lorsque $x$ augmente (je me suis contenté de le faire aller de $1$ à $1000$), comment les valeurs des fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ augmentent. C'est assez éloquent :

In [6]:

StaticInteract(croissances_comp, x=RangeWidget(1, 1000))

Out[6]:

('racine(x)', 'log(x)', 'x^3 ', '2^x ')

Concluson : y'a pas photo !

Bonus : l'échelle en zéro¶

Certains sont perturbés avec l'échelle en $0^+$. Je comprends, elle est bien moins intuitive que l'échelle en $+\infty$. Alors,je me suis livré au même jeu (puisque maintenant j'ai ma maginifique fonction croissances_comp), mais cette fois avec les quatre candidats suivants :

Fonction	Expression
$f_1(x)=$	$\log_{10}^{2} (x)$
$f_2(x)=$	$\log_{10}^{4}(x)$
$f_3(x)=$	$\dfrac{1}{x^{0.7}}$
$f_4(x)=$	$\dfrac{1}{x^2}$

Je rappelle aussi que dans les croissances comparées, c'est la taille du nombre qui nous intéresse, le signe n'intervient pas (on peut donc travailler avec les valeurs absolues des fonctions).

In [6]:

def croissances_comp(x):
    f1 = "f1(x)"
    f2 = "f2(x)"
    f3 = "f3(x) "
    f4 = "f4(x) "
    for i in range(x):
        k = 1/(1+i*x)
        f1 = str(floor(log10(k)**2))
        f2 = str(floor((-log10(k))**4))
        f3 = str(floor(1/k**(0.7)))
        f4 = str(floor(1/k**2))
    return f1, f2, f3, f4

Faites glisser le bouton, cette fois, $x$ part de la valeur $1$ pour décroître vers $0$ (on a bien $x\to 0^+$)

In [7]:

StaticInteract(croissances_comp, x=RangeWidget(0,1000))

Out[7]:

('f1(x)', 'f2(x)', 'f3(x) ', 'f4(x) ')

C'est moins spectaculaire que pour $x\to +\infty$, mais maintenant, êtes-vous convaincus ? Et surtout : voyez-vous mieux ce qui siginifie croître plus vite que ?