Développements limités en Python
De quoi vous aider à vérifier vos calculs. Comme d'habitude, on commence par importer les modules utiles :
In [1]:
from sympy import *
from sympy.interactive import printing # Pour avoir des belles sorties ...
printing.init_printing(use_latex=True) # ... en LaTeX
In [2]:
x = symbols('x') # maintenant je peux utiliser la variable x pour mes calculs.
La fonction series fournit la série de Taylor-Mac Laurin de la fonction
(rappel : c'est la partie principale du développement limité au voisinage de $a=0$.)
Par exemple, si je prends la fonction de l'exemple 18 du cours :
$$ x\mapsto f(x) = \sqrt{1+\ln(1+x)}$$
Il me suffit simplement de taper ceci :
In [3]:
series(sqrt(1+log(1+x)),x)
Out[3]:
Des remarques :
- Par défaut, comme dit plus haut, les développements limités sont donnés au voisiange de $a=0$.
- Par défaut, la partie régulière du développemement limité est celle à d'ordre 5.
- Le terme résiduel n'est pas noté $o(x^5)$ comme vous pouvez le constater, mais $\mathcal O(x^6)$. Cette notation (qui s'appelle, vous l'aurez deviné, grand O) signifie : "il existe un coefficient d'ordre 6, mais je ne l'écris pas" (c'est donc plus précis que $o(x^5)$).
Si je veux un DL de la fonction $t\mapsto \sqrt t$ à l'ordre 2 en $a=3$ comme fait en cours, je tape :
In [4]:
a = 3
n = 2
series(sqrt(x),x,a,n+1)
Out[4]:
Remarquez bien que pour avoir un DL$_n$, on spécifie dans series l'ordre $n+1$.
À vous de jouer pour vérifer vos DL !