Informatique : Leçon 4
Sommaire
Les boucles servent à automatiser la répétition de tâches. Il y a essentiellement deux types de boucles :
- Celles pour lesquelles on sait à l'avance le nombre d'itérations (ou répétitions) à effectuer : ce sont les boucles for. Par exemple : calculer les 100 premiers termes d'une suite \((u_n)\) donnée.
- Celles pour lesquelles on ne sait pas à l'avance le nombre d'itérations à effectuer : ce sont des boucles subordonnées à un test d'arrêt : les boucles tant que. Par exemple : trouver le premier terme d'une suite \((u_n)\) donnée de limite \(+\infty\) vérifiant \(u_n > 10000\).
Exemples de boucles pour
Exemple 1
Prenons l'exercice 16 p.25 du poly d'algorithmique : écrire un programme demandant à l'utilisateur d'entrer un entier \(N\) et calculant et affichant les termes \(r_0, \dots , r_N\) de la suite définie par :
Voici le programme Python correspondant obtenu en descendant l'algorithme vu en classe et pour lequel j'affiche les 11 premiers termes de la suite , c'est-à-dire \(r_0,\) \(r_1\), \(\dots\) \(r_n\).
N = input('Entrez un entier N naturel : ') r = 4 # C'est la valeur de r0 print r # j'affiche r0 comme demandé for j in range(1,N+1): r = 3*r print(r)
Entrez un entier N naturel : 10 4 12 36 108 324 972 2916 8748 26244 78732 236196
Des commentaires sur ce script :
- la liste des entiers de \(1\) à \(N\) s'obtient avec la commande range(1,N+1). Faites bien attention : range(a,b) prend les entiers de l'intervalle \([a,b[\) : b est exclu, si bien que dans la liste range(a,b), il y a b-a éléments.
- On peut se demander quel est le type de range(a,b). Regardons :
type(range(1,5))
list
- C'est un objet de type liste, qui correspond en mathématiques au type liste, appelé indifféremement \(p\)-liste, ou \(p\)-upplet. On a donc ici un nouveau type d'objet Python.
- Sous Python 3, range(a,b) n'est pas de type liste, mais de type itérable.
Exemple 2
Afficher 25 fois la phrase "Merci vous êtes bien gentil !"
for j in range(1,25): print('Merci vous êtes bien gentil')
Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil Merci vous êtes bien gentil
Variante de l'exemple 2
On voudrait afficher en plus dans la phrase le segment : 'pour la \(j\)-ème' fois avec la valeur courante de \(j\).
for j in range(1,26): print('Merci pour la ' + str(j)+ 'eme fois !')
Merci pour la 1eme fois ! Merci pour la 2eme fois ! Merci pour la 3eme fois ! Merci pour la 4eme fois ! Merci pour la 5eme fois ! Merci pour la 6eme fois ! Merci pour la 7eme fois ! Merci pour la 8eme fois ! Merci pour la 9eme fois ! Merci pour la 10eme fois ! Merci pour la 11eme fois ! Merci pour la 12eme fois ! Merci pour la 13eme fois ! Merci pour la 14eme fois ! Merci pour la 15eme fois ! Merci pour la 16eme fois ! Merci pour la 17eme fois ! Merci pour la 18eme fois ! Merci pour la 19eme fois ! Merci pour la 20eme fois ! Merci pour la 21eme fois ! Merci pour la 22eme fois ! Merci pour la 23eme fois ! Merci pour la 24eme fois ! Merci pour la 25eme fois !
Encore une amélioration supplémentaire
On voudrait qu'au premier affichage, Python affiche : "pour la 1ère fois" et non pas : "pour la 1ème fois". On pense tout de suite à implémenter un if pour réaliser cela. Ici, c'est inutile, puisqu'il suffit d'écrire :
print ('Merci pour la première fois') for j in range(2,26): print('Merci pour la ' + str(j)+ 'ème fois !')
Merci pour la première fois Merci pour la 2ème fois ! Merci pour la 3ème fois ! Merci pour la 4ème fois ! Merci pour la 5ème fois ! Merci pour la 6ème fois ! Merci pour la 7ème fois ! Merci pour la 8ème fois ! Merci pour la 9ème fois ! Merci pour la 10ème fois ! Merci pour la 11ème fois ! Merci pour la 12ème fois ! Merci pour la 13ème fois ! Merci pour la 14ème fois ! Merci pour la 15ème fois ! Merci pour la 16ème fois ! Merci pour la 17ème fois ! Merci pour la 18ème fois ! Merci pour la 19ème fois ! Merci pour la 20ème fois ! Merci pour la 21ème fois ! Merci pour la 22ème fois ! Merci pour la 23ème fois ! Merci pour la 24ème fois ! Merci pour la 25ème fois !
Exercice 18 p. 27 du poly
Calcul et affichage des termes de la suite \((u_n)\) donnée par \(u_n = n^2 + 2^{\cos\left( \dfrac{n\pi}{2}\right)}\) jusqu'à un rang \(N\) fixé par l'utilisateur.
Essayez de présenter l'affichage des termes dans une phrase du style :
u_## = la valeur du terme courant
et les ## sont remplacés par la valeur courante de l'indice.
from math import cos,pi N = input('Entrez un entier N : ') for j in range(0,N+1): a = j**2 + 2**cos(j*pi/2) print('u_'+str(j)+' = '+ str(a))
Entrez un entier N : 10 u_0 = 2.0 u_1 = 2.0 u_2 = 4.5 u_3 = 10.0 u_4 = 18.0 u_5 = 26.0 u_6 = 36.5 u_7 = 50.0 u_8 = 66.0 u_9 = 82.0 u_10 = 100.5
Exercice 19 p.27
Calcul et affichage des termes de la suite donnée par :
Attention, la suite \((u_n)\) est définie à partir du rang 1.
N = input('Entrez un entier N : ') u = 1 print('u_1 = 1') for i in range(1,N): u = 2*i**2+ u + 4 print('u_'+str(i+1)+' = '+ str(u))
Entrez un entier N : 10 u_1 = 1 u_2 = 7 u_3 = 19 u_4 = 41 u_5 = 77 u_6 = 131 u_7 = 207 u_8 = 309 u_9 = 441 u_10 = 607
Attention. Ici, la valeur de la variable de boucle est importante car elle intervient dans le calcul du terme courant de la suite. Il n'est donc pas indifférent d'écrire range(1,N) ou range(2,N+1), bien que l'on fasse dans les deux cas le bon nombre d'itérations.
Exercice 20 p.28 : calcul de \(n!\)
N = input('Entrez un entier N : ') F = 1 for k in range(1,N+1): F = F * k print(F)
Entrez un entier N : 5 120
Remarque.
- En toute rigueur, comme vu dans le cours d'algorithmique, il faudrait distinguer les cas \(N=0\) et \(N \neq 0\) par un schéma conditionnel.
- Néanmoins, en Python, si \(N=0\), range(1,N+1) devient range(1,1), qui est vide : Python ne rentre donc pas dans la boucle. La valeur affichée est bien F = 1 qui est \(0!\).
- En conclusion : ce programme calcule donc correctement la valeur de \(n!\) dans tous les cas : il est donc inutile d'implémenter un if.
Dernier exercice
Dans un script que vous appelerez binome.py :
- Construire une fonction fact(n) qui calcule \(n!\)
- Compléter le fichier avec un script demandant à l'utilisateur d'entrer un entier \(N\), et qui affiche les coefficients de la ligne \(N\) du triangle de Pascal.
Je rappelle que la ligne \(n\) du triangle de Pascal contient les coefficients binomiaux \(\left(\begin{array}{c} {n}\\k \end{array}\right)\) pour \(k\) allant de \(0\) à \(n\) et que
Il y a donc \(n+1\) coefficients à afficher.
Par exemple, la ligne \(n=3\) du triangle est : \(1\) \(3\) \(3\) \(1\)
# 1. Je définis la fonction factorielle : def fact(n): #consiste à modifier le script précédent """fonction qui calcule la factorielle de n """ f = 1 for j in range(1,n+1): f = f * j return f # 2. Interaction avec l'utilisateur : N = input('Entrez un entier N : ') for k in range(0,N+1): k_parmi_n = fact(N)/(fact(k)*fact(N-k)) # je donne un nom explicite à ma variable print(k_parmi_n)
Entrez un entier N : 6 1 6 15 20 15 6 1
Remarques
- Il est maladroit d'utiliser la fonction factorielle pour calculer les coefficients binomiaux. Cet exercice est purement académique.
- Si vous êtes ambitieux, vous pouvez améliorer ce programme pour qu'il produise l'affichage de toutes les lignes du triangle de Pascal jusqu'à la ligne \(N\) : il y aura donc deux boucles imbriquées.
- Les plus ambitieux peuvent tenter de réaliser un programme qui, dans un premier temps, linéarise \(\cos^{2p}(x)\), puis \(\cos^{p}(x)\), et enfin \(\sin^q(x)\).