Équations différentielles linéaires : variation de la constante

La méthode de la variation de la constante sert à trouver une solution particulière à une équation différentielle linéaire du premier ordre après avoir calculé les solutions de l'équation homogène associée. Elle se termine toujours par un calcul de primitives.

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Changement de variables dans les intégrales

Un thème des plus récurrents en analyse, à l'écrit comme à l'oral, est celui du calcul intégral. En effet, il intervient notamment :

  1. Dans la résolutions d'équations différentielles.
  2. Dans le calcul des probabilités.

Il est donc important de maîtriser ce thème, à commencer par savoir effectuer un changement de variables.

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Que faire en maths cet été ?

Si tu es en train de lire ce billet, c'est que tu as probablement l'intention de faire une spé à la rentrée. Alors avant tout, félicitations pour ton passage en spé, c'était quand même pas si facile que ça ! D'autant qu'il faut travailler les SVT, mais aussi la chimie, la physique et enfin les maths et l'info. Et autant dire que pour ces deux dernières matières, on a du mal à se dire qu'on en ferait autant en BCPST. Alors je vais essayer de mettre en ligne sur ce blog tout au long de l'été des choses à faire pour bien commencer l'année de spé, d'autant qu'il faut savoir que :

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Développements limités en Python

De quoi vous aider à vérifier vos calculs. Comme d'habitude, on commence par importer les modules utiles :

In [1]:
from sympy import *
from sympy.interactive import printing # Pour avoir des belles sorties ...
printing.init_printing(use_latex=True) # ... en LaTeX
In [2]:
x = symbols('x') # maintenant je peux utiliser la variable x pour mes calculs.

La fonction series fournit la série de Taylor-Mac Laurin de la fonction (rappel : c'est la partie principale du développement limité au voisinage de $a=0$.)

Par exemple, si je prends la fonction de l'exemple 18 du cours :

$$ x\mapsto f(x) = \sqrt{1+\ln(1+x)}$$

Il me suffit simplement de taper ceci :

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Informatique. Exercices sur les chaînes de caractères

Comparaison de mots

Égalité de deux mots

Exercice. Écrire une fonction \(\texttt{sontEgaux(mot1,mot2)}\) qui prend en entrée deux chaînes de caractères \(\texttt{mot1}\) et \(\texttt{mot2}\) et qui retroune \(\texttt{1}\) si ces deux chaînes sont égales et \(\texttt{0}\) sinon.

Principe

  1. Si les deux mots ne sont pas de même longueur, clairement, ils ne sont pas égaux.
  2. Si les deux mots sont de même longueur : on implémente une boucle \(\texttt{for}\) pour comparer les lettres une par une et on interrompt la boucle dès que deux lettres en même position ne sont égales.

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Une utilisation de numpy

Ensemble de Mandelbrot

Voici ce qu'est l'ensemble de Mandelbrot. Vous pouvez l'explorer ici-même.Entre deux diapos, n'hésitez pas à vous balader sur le slide (il est interactif) ! Je vous conseille de passer en plein écran.

À la fin de ce TP, vous saurez fabriquer ces images !

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Informatique : Leçon 9. Le module numpy

Dans la leçon 8, on construit des matrices en les regardant comme des listes de listes, ce qui a demandé de définir toutes les opérations matricielles. Or, le module \(\texttt{numpy}\) est destiné notamment au calcul matriciel et fait le travail. On s'en servira aussi en traitement de l'image.

Une subtilité (ou un point fort) du module : les tableaux peuvent être multidimensionnels. Les matrices sont donc un cas particulier de tableaux multidimensionels.

Importation des modules

import numpy as np # importation prudente

Rappel : avec import vous importez le module. Avec as vous lui donnez un nom de préfixe pour vous rappeler les fonctions provenant du module. Autrement dit : chaque commande utilisée du module numpy est préfixée par np, ce qui permet d'identifier son origine.

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Le jeu de Monty Hall 2/2

Maintenant que vous connaissez le jeu de Monty Hall, on peut par exemple simuler 100 000 parties du jeu dans lesquelles le candidat choisit systématiquement la stratégie de changer son choix. Si Marylin a raison (mais vous en êtes convaincus maintenant), la fréquence des parties gagnées devrait être voisine de \(2/3\), et non pas de \(1/2\) comme l'ont hurlé ses détracteurs.

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Le jeu de Monty Hall 1/2

"Mon unique conseil : si vous parvenez à obtenir de moi que je vous offre 5000 dollars pour ne pas ouvrir la porte : prenez l'argent et rentrez chez vous !" (Monty Hall)
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Paul Erdös

... ou comment l'intuition peut être difficile à exercer en probabilités. Les probabilités sont en effet un domaine particulier des mathématiques : bien que la théorie soit une théorie mathématique à part entière, l'honnête homme a en vue son application à des problèmes de la vraie vie. Il faut donc pour cela interpréter des résultats théoriques à des situations concrètes. Souvent, on comprend a posteriori la valeur d'une probabilité obtenue par la théorie, alors qu'il n'était pas du tout évident de la deviner par l'intuition. Intuition dont on n'a pas l'air tous dôtés de la même manière, et qui n'est pas liée de façon simple aux aptitudes mathématiques : d'excellents mathématiciens peuvent ainsi avoir une intuition en probabilités peu en rapport avec leur niveau mathématique.

Voici une histoire célèbre pour illustrer ceci.

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Faire dans le Matshow, ça plaît aux filles

Lors d'une séance de TP, j'ai montré comment représenter graphiquement une matrice comme un grille de pixels. En effet, une matrice est une grille de nombres. Si chaque nombre est représenté par une couleur, on obtient une belle grille de couleurs, c'est-à-dire une mosaïque. Ça a beaucoup plu aux filles du groupe du TP. Remarque de macho ? Ça tombe bien, la commande pour faire cela est aussi matshow. Regradons :

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